Vektor Matematika Peminatan

Vektor matematika ialah suatu besaran yang memiliki arah, vektor ini sendiri bisa digambarkan dgn memakai panah yg arahnya akan menunjukkan ke arah vektor.Matematika. Sekolah Menengah Atas. Latihan vektor matematika peminatan.Pdf Vektor Kelas X Matematika Peminatan Ajeng Puspitasari Academia Edu. Konsep Dasar Vektor Vektor Bagian 1 Matematika Peminatan Kelas 10 M4thlab Youtube.Tentu saja, vektor matematika peminatan akan membahas semuanya lebih dalam. itulah Cerdikawan pembahasan tentang vektor matematika! Pahami mulai dari awal ya, karena semuanya...Quipperian, yuk coba kupas tuntas pelajaran matematika materi vektor peminatan untuk kelas 10 yang Mau Siap Menghadapi UN Matematika? Ini 5 Contoh Soal Vektor Matematika SMA Kelas 10!

latihan vektor matematika peminatan - Brainly.co.id

Pengertian Besaran Vektor Dalam Matematika dan fisika dikenal dua besaran, yaitu besaran vektor dan besaran skalar. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) saja...Vektor merupakan salah satu materi matematika peminatan (mathematics- extended/further) yang dipelajari oleh siswa kelas X jurusan MIPA Tingkat SMA. Secara singkat, vektor merupakan besaran...Matematika Vektor. A. Peta Konsep Pembelajaran. Vektor merupakana materi matematika peminatan kelas 10 Semester 2. Berikut merupakan peta konsep yang akan dipelajari dalam vector.Tugas Matematika Peminatan Materi Vektor Kelas X IPA 1 SMA YPI TUNAS BANGSA PALEMBANG Guru Pembimbing : Nurbahari Martlan,S.Pd Tahun Pelajaran 2017/2018.

latihan vektor matematika peminatan - Brainly.co.id

Vektor Matematika Peminatan

Dikbud NTB @dikbudntb @dikbudntb Matematika Peminatan Kelas X Vektor © 2018 - Hak Cipta Pada Dinas Pendidikan dan Kebudayaan Provinsi NTB PEMERINTAH PROVINSI NUSA TENGGARA...Vektor Matematika - Pengertian Oprasi Rumus Contoh Perkalian Dan Posisi. Soal vektor matematika peminatan Berikut ini adalah soal ptspat matematika peminatan kelas X semester 2 tentang vektor.soal vektor matematika peminatan - Berikut ini adalah soal pts/pat matematika peminatan kelas X semester 2 tentang vektor. Berbeda dengan vektor yang ada di fisika.Matematika Kelas 10 Vektor Part 1. Perkalian Skalar Dua Vektor Matematika Peminatan 2020 Materi Vektor Kelas X Semester Genap 2020.Vektor merupakan sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor digambarkan sebagai panah dengan yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut besar vektor.

Google Translate Jepang Hiragana Perlawanan Rakyat Indonesia Terhadap Jepang Daerah Penghasil Gerabah Gerak Dasar Gaya Punggung Merupakan Gerak Yang Efisien Dalam Potongan Rambut Pria Korea Makna Bersatu Kita Teguh Bercerai Kita Runtuh Pemain Dari Jendela Smp Sctv Santi Jual Beli Ayam Bangkok Kediri Hello Again Sub Indo Pianika Mengheningkan Cipta Foxit Reader Kuyhaa

Soal dan Pembahasan – Vektor (Matematika)

       Vektor merupakan salah satu materi matematika peminatan (mathematics- extended/further) yang dipelajari oleh siswa kelas X jurusan MIPA Tingkat SMA. Secara singkat, vektor merupakan besaran yang memiliki nilai sekaligus arah. Kadang vektor juga disebut sebagai garis berarah (garis yang memiliki panah), di mana panjang garis mewakili nilai vektor, sedangkan panah mewakili arah vektor. Untuk memperkuat pemahaman konsep tentang vektor, berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan sumber pembelajaran.

Unduh soal di tautan berikut: Download (PDF)

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1Diketahui vektor $\vec a = \widehati+2\widehatj-3\widehatk$, $\vec b = 3\widehati+5\widehatk$, $\vec c=-2\widehati-4\widehatj+\widehatk$, dan $\vec u= 2 \vec a + \vec b- \vec c$. Vektor $\vec u$ adalah $\cdots \cdot$A. \widehati+6\widehatj+\widehatk$B. \widehati-2\widehatj-2\widehatk$C.

[title]

[content]

\widehati-2\widehatj$D. \widehati+8\widehatj-2\widehatk$E. \widehati-8\widehatj-2\widehatk$

Pembahasan

Diketahui:$\beginaligned \vec a & = (1,2,-3) \ \vec b & = (3,0,5) \ \vec c & = (-2,-4,1) \endaligned$Dengan demikian, $\beginaligned \vec u & = 2 \vec a + \vec b-\vec c \ & = 2(1,2,-3)+(3,0,5)-(-2,-4,1) \ & = (2,4,-6)+(3,0,5)+(2,4,-1) \ & = (2+3+2,4+0+4,-6+5-1) \ & = (7,8,-2) \endaligned$Jadi, vektor $\vec u$ adalah $\boxed7\widehati + 8\widehatj-2\widehat k$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2Diketahui $A(1,2,3),B(3,3,1)$, dan $C(7,5,-3)$, Jika $A,B$, dan $C$ segaris (kolinear), maka $\vecAB : \vecBC$ adalah $\cdots \cdot$A. 1 : 2$                       D. : 7$B.

[title]

[content]

: 1$                       E. : 5$C.

[title]

[content]

: 5$

Pembahasan

Karena $A, B, C$ segaris, maka vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik itu akan saling berkelipatan (memiliki perbandingan). Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui$\beginaligned \vecAB & = B-A = (3,3,1)-(1,2,3) \ & =(2,1,-2) \ \vecBC & = C-B = (7,5,-3)-(3,3,1) \ & = (4,2,-4) \endaligned$Dengan demikian,$\beginaligned \dfrac\vec AB\vec BC & = \dfrac(2,1,-2)(4,2,-4) \ & = \dfrac\cancel(2,1,-2)2\cancel(2,1,-2) = \dfrac12 \endaligned$Jadi, $\boxed\vecAB : \vecBC = 1 : 2$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3Diketahui bahwa $\veca = \beginpmatrix 1 \ 2 \-3 \endpmatrix, \vecb = \beginpmatrix 4 \ 4 \ m \endpmatrix$, dan $\vecc= \beginpmatrix 3 \-4 \ 5 \endpmatrix$. Jika $\veca \perp \vecb$, maka hasil dari $\vec a + 2 \vec b-\vec c = \cdots \cdot$A. $\beginpmatrix 6 \ 14 \ 0 \endpmatrix$                  D. $\beginpmatrix 6 \ 14 \ 12 \endpmatrix$B. $\beginpmatrix 6 \ 14 \ 6 \endpmatrix$                  E. $\beginpmatrix 6 \ 14 \ 14 \endpmatrix$C. $\beginpmatrix 6 \ 14 \ 10 \endpmatrix$

Pembahasan

Karena $\vec a \perp \vec b$ (saling tegak lurus), maka $\vec a \bullet \vec b = 0$, sehingga ditulis $\beginaligned \beginpmatrix 1 \ 2 \-3 \endpmatrix \bullet \beginpmatrix 4 \ 4 \ m \endpmatrix & = 0 \ (1)(4) + (2)(4) + (-3)(m) & = 0 \ 4+8-3m&=0 \-3m&=-12 \ m &=4 \endaligned$Dengan demikian, $$\beginaligned \vec a + 2 \vec b- \vec c & = \beginpmatrix 1 \ 2 \-3 \endpmatrix + 2 \beginpmatrix 4 \ 4 \ m \endpmatrix- \beginpmatrix 3 \-4 \ 5 \endpmatrix \ & = \beginpmatrix 1+8-3 \ 2+8-(-4) \-3+8-5 \endpmatrix \ & = \beginpmatrix 6 \ 14 \ 0 \endpmatrix \endaligned$$Jadi, hasil dari $\boxed\vec a + 2 \vec b-\vec c = \beginpmatrix 6 \ 14 \ 0 \endpmatrix$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4Diketahui vektor $\vec a= \widehati+2\widehatj-x\widehatk$, $\vec b = 3\widehati-2\widehatj+\widehatk$, dan $\vec c= 2\widehati+\widehatj+2\widehatk$. Jika $\vec a \perp \vec c$, maka nilai dari $(\vec a + \vec b) \bullet (\vec a-\vec c)$ adalah $\cdots \cdot$A. $-4$                   C. [scrape_url:1]

[title]

[content]

[/scrape_url]$                 E. $B. $-2$                   D.

[title]

[content]

$           

Pembahasan

Diketahui: $\vec a = \beginpmatrix 1 \ 2 \-x \endpmatrix~~~~\vec b = \beginpmatrix 3 \-2 \ 1 \endpmatrix~~~~\vec c = \beginpmatrix 2 \ 1 \ 2 \endpmatrix$Karena $\vec a \perp \vec c$ (saling tegak lurus), maka $\vec a \bullet \vec c = 0$, sehingga ditulis $\beginaligned \beginpmatrix 1 \ 2 \-x \endpmatrix \bullet \beginpmatrix 2 \ 1 \ 2 \endpmatrix & = 0 \ (1)(2) + (2)(1) + (-x)(2) & = 0 \ 2+2-2x&=0 \-2x&=-4 \ x &=2 \endaligned$Dengan demikian, $$\beginaligned & (\vec a + \vec b) \bullet (\vec a- \vec c) \ & = \left[\beginpmatrix 1 \ 2 \-x \endpmatrix + \beginpmatrix 3 \-2 \ 1 \endpmatrix\right] \bullet \left[\beginpmatrix 1 \ 2 \-x \endpmatrix- \beginpmatrix 2 \ 1 \ 2 \endpmatrix\right] \ & = \left[\beginpmatrix 1 \ 2 \-2 \endpmatrix + \beginpmatrix 3 \-2 \ 1 \endpmatrix\right] \bullet \left[\beginpmatrix 1 \ 2 \-2 \endpmatrix- \beginpmatrix 2 \ 1 \ 2 \endpmatrix\right] \ & =\beginpmatrix 4 \ 0 \-1 \endpmatrix \bullet \beginpmatrix-1 \ 1 \-4 \endpmatrix \ & = (4)(-1)+(0)(1)+(-1)(-4) = 0 \endaligned$$Jadi, hasil dari $\boxed(\vec a + \vec b) \bullet (\vec a-\vec c) = 0$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5Diketahui vektor $\vec u = 3\widehati+2\widehatj-\widehatk$ dan $\vec v = 3\widehati+9\widehatj-12\widehatk$. Jika vektor

[title]

[content]

\vec u-a \vec v$ tegak lurus terhadap $\vec v$, maka nilai $a = \cdots \cdot$A. $-1$                  C. 1$                     E. $B. $-\dfrac13$                D. $\dfrac13$           

Pembahasan

Diketahui: $\vec u = (3,2,-1)$ dan $\vec v = (3,9,-12)$Misalkan $\vec x = 2 \vec u- a \vec v$, sehingga$\beginaligned \vec x & = 2(3,2,-1)-a(3,9,-12) \ & = (6,4,-2)-(3a, 9a,-12a) \ & = (6-3a, 4-9a,-2+12a) \endaligned$Karena vektor $\vec x = 2 \vec u-a \vec v$ tegak lurus terhadap $\vec v$, maka haruslah memenuhi $\vec x \bullet \vec v = 0$, sehingga ditulis$$\beginaligned (6-3a, 4-9a,-2+12a) \bullet (3,9,-12) & = 0 \ 3(6-3a) + 9(4-9a) + (-12)(-2+12a) & =0 \ 18-9a + 36-81a + 24- 144a & = 0 \ 78- 234a & = 0 \-234a & =-78 \ a & = \dfrac13 \endaligned$$Jadi, nilai $\boxeda = \dfrac13$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6Diketahui vektor $\vec u = (2,-1,3)$ dan $\vec v =(-3,2,6)$. Panjang proyeksi vektor skalar \vec u + 2 \vec v$ pada vektor $\vec v$ adalah $\cdots \cdot$ A. \dfrac34$                    D. \dfrac57$B. \dfrac57$                    E. \dfrac34$C. \dfrac27$

Pembahasan

Misalkan $\vec x = 3 \vec u + 2 \vec v$, sehingga$\beginaligned \vec x & = 3(2,-1,3) + 2(-3,2,6) \ & = (6,-3,9)+(-6,4,12) \ & = (6+(-6),-3+4, 9+12) \ & = (0, 1, 21) \endaligned$Panjang proyeksi vektor skalar $\vec x = 3 \vec u + 2 \vec v$ pada vektor $\vec v$ dinyatakan oleh$\beginaligned |\vec x_\vec v| & = \dfrac\vec x \bullet \vec v \vec v \ & = \dfrac(0,1,21) \bullet (-3,2,6) \sqrt(-3)^2+(2)^2+(6)^2 \ & = \dfrac(0)(-3)+(1)(2)+(21)(6) \sqrt9+4+36 \ & = \dfrac0+2+126\sqrt49 \ & = \dfrac1287 = 18\dfrac27 \endaligned$Jadi, panjang proyeksi vektor skalar dari kedua vektor tersebut adalah $\boxed18\dfrac27$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7Diketahui vektor $\vec u = \widehati+2\widehatj-\widehatk$ dan $\vec v = \widehati+\widehatj+m\widehatk$. Panjang proyeksi $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\dfrac23\sqrt3$. Bila $m>0$, maka nilai $m+2=\cdots \cdot$A.

[title]

[content]

$                     C. $                     E. $B. $                     D. $         

Pembahasan

Diketahui:$\beginaligned \vec u & = (1, 2,-1) \ \vec v & = (1, 1, m) \ |\vec u _\vec v| & = \dfrac23\sqrt3 \endaligned$Dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor, diperoleh$$\beginaligned |\vec u _\vec v| & = \dfrac\vec u \bullet \vec v \ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac(1,2,-1) \bullet (1,1,m)\sqrt(1)^2+(1)^2+m^2 \ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac1(1) + 2(1) + (-1)(m)\sqrt2+m^2 \ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac3-m\sqrt2+m^2 \ \textKuadratkan&~\textkedua ruas \ \left(\dfrac23\sqrt3\right)^2 & = \left(\dfrac3-m\sqrt2+m^2\right)^2 \ \dfrac4\cancelto39 \cdot \cancel3 & = \dfrac9-6m+m^22+m^2 \ \dfrac43(2+m^2) & = 9-6m+m^2 \ 8+4m^2 & = 27-18m+3m^2 \ m^2 + 18m- 19 & = 0 \ (m+19)(m-1) & = 0 \endaligned$$Dari sini, diperoleh $m =-19$ atau $m=1$. Karena $m>0$, maka dipilih $m=1$, sehingga nilai $\boxedm+2=1+2=3$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 8Misalkan $A(t^2+1,t)$ dan $B(1,2)$ sehingga panjang vektor proyeksi $\vecOA$ terhadap $\vecOB$ lebih dari $\dfrac4\sqrt5$. Nilai $t$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$A. $-3<t<1$B. $t<-1$ atau $t>3$C. $t<-3$ atau $t>1$D. $-1<t<3$E. 1<t<3$

Pembahasan

Diketahui:$\beginaligned \textKoor\textdinat~A & = (t^2+1, t) \ \textKoord\textinat~B & = (1,2) \ \textKoord\textinat~O & = (0,0) \ |\vecOA_\vec OB| > \dfrac4\sqrt5 \endaligned$Karena panjang proyeksi vektornya lebih dari $\dfrac4\sqrt5$, maka kita tuliskan$\beginaligned |\vecOA_\vec OB|& > \dfrac4\sqrt5 \ \dfrac\vecOA \bullet \vecOB & > \dfrac4\sqrt5 \ \dfrac(t^2+1, t) \bullet (1, 2)\sqrt(1)^2+(2)^2 & > \dfrac4\sqrt5 \ \dfrac(t^2+1)(1) + t(2)\cancel\sqrt5 & > \dfrac4\cancel\sqrt5 \ t^2+1+2t & > 4 \ t^2+2t-3 & > 0 \ (t+3)(t-1) & > 0 \endaligned$Pembuat nol: $t =-3$ atau $t = 1$.Dengan menggunakan bantuan garis bilangan, uji salah satu nilai $t$ untuk menentukan tanda positif-negatif. Nilai $t$ yang mungkin adalah $\boxedt<-3~\textatau~t>1$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9Vektor $\vec z$ adalah proyeksi vektor $\vec x =(-\sqrt3,3,1)$ pada vektor $\vec y =(\sqrt3,2,3)$. Panjang vektor $\vec z$ adalah $\cdots \cdot$A. $\dfrac12$      B. 1$        C. $\dfrac32$        D.

[title]

[content]

$         E. $\dfrac52$

Pembahasan

Diketahui:$\beginaligned \vec x & = (-\sqrt3,3,1) \ \vec y & = (\sqrt3, 2, 3) \endaligned$Panjang proyeksi vektor $\vec x$ pada $\vec y$ dinyatakan oleh$$\beginaligned |\vec z| = |\vec x_\vec y| & = \dfrac\vec x \bullet \vec y \vec y \ & = \dfrac(-\sqrt3, 3, 1) \bullet (\sqrt3, 2, 3) \sqrt(\sqrt3)^2+(2)^2+(3)^2 \ & = \dfrac(-\sqrt3)(\sqrt3)+(3)(2)+(1)(3) \sqrt3+4+9 \ & = \dfrac-3 + 6 + 3\sqrt16 \ & = \dfrac64 = \dfrac32 \endaligned$$Jadi, panjang vektor $\vec z$ adalah $\boxed\dfrac32$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10Diketahui $\vec p= \widehati-\widehatj+2\widehatk$ dan $\vec q= 2\widehati-2\widehatj+n\widehatk$. Jika panjang proyeksi vektor $\vec p$ pada $\vec q$ adalah

[title]

[content]

$, maka $n=\cdots \cdot$A. 1$                    C. $                    E. $B. $                    D. $         

Pembahasan

Panjang proyeksi vektor $\vec p$ pada $\vec q$ dinyatakan oleh$|\vec p_\vec q| = \dfrac\vec p \bullet \vec q $Diketahui:$\beginaligned \vec p & = (1,-1,2) \ \vec q & = (2,-2,n) \ |\vec p_\vec q| & = 2 \endaligned$Untuk itu, kita peroleh$$\beginaligned 2 & = \dfrac(1,-1,2) \bullet (2,-2,n)\sqrt(2)^2+(-2)^2+(n)^2 \ 2 & = \dfrac(1)(2) + (-2)(-1) + (2)(n) \sqrt4+4+n^2 \ 2 & = \dfrac 4+2n \sqrt8+n^2 \ 2\sqrt8+n^2 & = 4+2n \ \sqrt8+n^2 & = 2+n \ \textKuadratkan~&\textkedua ruas \ 8+n^2 & = (2+n)^2 \ 8+\canceln^2 & = 4+4n+\canceln^2 \ 8&=4+4n \ n & = \dfrac8-44 = 1 \endaligned$$Jadi, nilai $\boxedn = 1$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11Jika $\vec u$ dan $\vec v$ adalah dua vektor satuan yang membentuk sudut ^\circ$, maka $(\vec u + \vec v) \bullet \vec v = \cdots \cdot$A. $\dfrac2 + \sqrt22$                     D. $\sqrt2$B. $\dfrac2- \sqrt22$                    E.

[title]

[content]

\sqrt2$C. $\dfrac12\sqrt2$

Pembahasan

Karena $\vec u$ dan $\vec v$ vektor satuan, maka $|\vec u| = |\vec v| =1$ dan juga diketahui $\angle(\vec u, \vec v) = 45^\circ$.Untuk itu,$$\beginaligned (\vec u + \vec v) \bullet \vec v & = \vec u \bullet \vec v + \vec v \bullet \vec v \ & = |\vec u| \cdot |\vec v| \cos 45^\circ + |\vec v| \cdot |\vec v| \cos 0^\circ \ & = (1)(1)\left(\dfrac12\sqrt2\right) + (1)(1)(1) \ & = 1 + \dfrac12\sqrt2 = \dfrac2+\sqrt22 \endaligned$$Catatan: Besar sudut antara dua vektor yang sama adalah [scrape_url:1]

[title]

[content]

[/scrape_url]^\circ$.Jadi, $\boxed(\vec u + \vec v) \bullet \vec v = \dfrac2+\sqrt22$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12Diketahui $\vec a, \vec b$, dan $\vec c$ adalah vektor satuan yang membentuk sudut ^\circ$ satu sama lain. Nilai $(\vec a + \vec b) \bullet (\vec b-\vec c) = \cdots \cdot$A. $\dfrac18$                   C. $\dfrac12$                E.

[title]

[content]

$B. $\dfrac14$                   D. 1$

Pembahasan

Karena $\vec a, \vec b$, dan $\vec c$ vektor satuan, maka $|\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = 1$ dan juga diketahui $\angle(\vec a, \vec b) = \angle(\vec a, \vec c) = \angle(\vec b, \vec c ) = 60^\circ$.Untuk itu,$$\beginaligned & (\vec a + \vec b) \bullet (\vec b-\vec c) \ & = \vec a \bullet \vec b-\vec a \bullet \vec c + \vec b \bullet \vec b-\vec b \bullet \vec c \ & = |\vec a| \cdot |\vec b| \cos 60^\circ-|\vec a| \cdot |\vec c| \cos 60^\circ + \vec b| \cdot |\vec b| \cos 0 ^\circ-|\vec b| \cdot |\vec c| \cos 60^\circ \ & = (1)(1)\left(\dfrac12\right)-(1)(1)\left(\dfrac12\right) + \ & (1)(1)(1)-(1)(1)\left(\dfrac12\right) \ & = \dfrac12-\dfrac12 + 1-\dfrac12 = \dfrac12 \endaligned$$Jadi, $\boxed(\vec a + \vec b) \bullet (\vec b-\vec c) = \dfrac12$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13Diketahui titik $A(1,0,-2),B(2,1,-1)$, dan $C(2,0,-3)$. Sudut antara vektor $\vecAB$ dengan $\vecAC$ adalah $\cdots \cdot$A. ^\circ$                       D. ^\circ$B. ^\circ$                       E. 0^\circ$C. ^\circ$

Pembahasan

Untuk $A(1,0,-2),B(2,1,-1)$, dan $C(2,0,-3)$, diperoleh$\beginaligned \vecAB & = B- A = (2,1,-1)-(1,0,-2) \ & = (1,1,1) \ \vecAC & = C- A = (2,0,-3)-(1,0,-2) \ & = (1, 0,-1) \endaligned$Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah $\theta$. Cosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh$$\beginaligned \cos \theta & = \dfrac\vecAB \bullet \vecAC \vec AC \ & = \dfrac(1,1,1) \bullet (1,0,-1) \sqrt(1)^2+(1)^2+(1)^2 \cdot \sqrt(1)^2+(0)^2+(-1)^2 \ & = \dfrac1+0+(-1)\sqrt3 \cdot \sqrt2 \ & = \dfrac0\sqrt6 = 0 \endaligned$$Dari $\cos \theta = 0$, diperoleh $\boxed\theta = 90^\circ$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 14Diketahui vektor $\vec a = (2,-3, 1)$ dan $\vec b = (1,-2,3)$. Nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$A. $\dfrac57$                       D. $\dfrac511\sqrt3$ B. $\dfrac1114$                     E. $\dfrac27\sqrt6$C. $\dfrac514\sqrt3$ 

Pembahasan

Misalkan $\theta$ merupakan besar sudut yang terbentuk oleh kedua vektor tersebut. Cosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh$$\beginaligned & \cos \theta = \dfrac\vec a \bullet \vec b \ & = \dfrac(2,-3,1) \bullet (1,-2,3) \sqrt(2)^2+(-3)^2+(1)^2 \cdot \sqrt(1)^2+(-2)^2+(3)^2 \ & = \dfrac2+6+3\sqrt14 \cdot \sqrt14 \ & = \dfrac1114 \endaligned$$Dengan menggunakan Identitas Pythagoras dalam trigonometri:$\boxed\sin \theta = \sqrt1-\cos^2 \theta$diperoleh$\beginaligned \sin \theta & = \sqrt1- \left(\dfrac1114\right)^2 \ & = \sqrt1-\dfrac121196 = \sqrt\dfrac75196 = \dfrac5\sqrt314 \endaligned$Jadi, nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed\dfrac5\sqrt314$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15Diketahui vektor $\vec a =\widehati+\widehatj$ dan $\vec b =-\widehati+\widehatk$. Nilai sinus sudut antara kedua vektor tersebut adalah $\cdots \cdot$A. $-\dfrac12$               D. $\dfrac12\sqrt2$B. 0                    E. $\dfrac12\sqrt3$C. $\dfrac12$

Pembahasan

Bila vektor dinyatakan dalam bentuk koordinat, maka $\vec a = (1, 1, 0)$ dan $\vec b = (-1, 0, 1)$. Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah $\theta$. Cosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh$$\beginaligned & \cos \theta = \dfrac\vec a \bullet \vec b \vec a \ & = \dfrac(1,1,0) \bullet (-1,0,1) \sqrt(1)^2+(1)^2+(0)^2 \cdot \sqrt(-1)^2+(0)^2+(1)^2 \ & = \dfrac-1+0+0\sqrt2 \cdot \sqrt2 =-\dfrac12 \endaligned$$Dengan menggunakan Identitas Pythagoras dalam trigonometri:$\boxed\sin \theta = \sqrt1-\cos^2 \theta$diperoleh$\beginaligned \sin \theta & = \sqrt1-\left(-\dfrac12\right)^2 \ & = \sqrt1-\dfrac14 = \sqrt\dfrac34 = \dfrac12\sqrt3 \endaligned$Jadi, nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed\dfrac12\sqrt3$(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16Panjang vektor $\vec a, \vec b$, dan $(\vec a-\vec b)$ berturut-turut adalah , 4$, dan $\sqrt37$. Besar sudut antara vektor $\vec a$ dan vektor $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$A. ^\circ$                          D. 0^\circ$B. ^\circ$                          E. 0^\circ$C. ^\circ$

Pembahasan

Diketahui: $\beginaligned |\vec a| & = 3 \ |\vec b| &= 4 \ |\vec a-\vec b| & = \sqrt37 \endaligned$Dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, diperoleh$\beginaligned |\vec a-\vec b| & = \sqrt\vec a \ \textKuadratkan&~\textkedua ruas \ (\sqrt37)^2 & = (3)^2 + (4)^2-2(3)(4) \cos \theta \ 37 & = 9+16-24\cos \theta \-24 \cos \theta & = 12 \ \cos \theta & =-\dfrac1224 =-\dfrac12 \endaligned$Untuk $\cos \theta =-\dfrac12$, diperoleh $\theta = 120^\circ$Jadi, besar sudut antara vektor $\vec a$ dan vektor $\vec b$ adalah $\boxed120^\circ$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 17Diketahui titik $A(5, 1, 3), B(2,-1,-1)$, dan $C(4, 2,-4)$. Besar sudut $ABC = \cdots \cdot$A. $\pi$       B. $\dfrac\pi2$       C. $\dfrac\pi3$        D. $\dfrac\pi6$       E. [scrape_url:1]

[title]

[content]

[/scrape_url]$

Pembahasan

Besar sudut $ABC$ dapat ditentukan dengan menerapkan rumus:$\boxed\cos \theta = \dfrac\vec AB \bullet \vecBC\vec AB$Perhatikan bahwa, $\beginaligned\vecAB & = B- A \ & = (2,-1,-1)-(5, 1, 3) \ & = (-3,-2,-4) \endaligned$dan$\beginaligned\vecBC & = C- B \ & = (4, 2,-4)-(2,-1,-1) \ & = (2, 3,-3) \endaligned$Panjang vektor $\vecAB$ dinyatakan oleh$\beginaligned |\vecAB| & = \sqrt(-3)^2+(-2)^2+(-4)^2 \ & = \sqrt9+4+16 \ & = \sqrt29 \endaligned$Panjang vektor $\vecBC$ dinyatakan oleh$\beginaligned|\vecBC| & = \sqrt(2)^2+(3)^2+(-3)^2 \ & = \sqrt4+9+9 \ &= \sqrt22 \endaligned$Dengan demikian, diperoleh$\beginaligned \cos \theta & = \dfrac\vec AB \bullet \vecBC\vec AB \ & = \dfrac(-3,-2,-4) \bullet (2, 3,-3)\sqrt29 \cdot \sqrt22 \ & = \dfrac-6-6+12\sqrt29 \cdot \sqrt22 \ & = 0 \endaligned$Karena $\cos \theta = 0$, maka $\boxed\theta = 90^\circ=\dfrac\pi2$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 18Diketahui $|\vec a|=2\sqrt3$ dan $|\vec b|=4$. Jika vektor $\vec a$ tegak lurus dengan $(\vec a +\vec b)$, maka sudut antara vektor $\vec a$ dengan vektor $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$       A. 0^\circ$                     D. ^\circ$B. 0^\circ$                     E. ^\circ$C. ^\circ$

Pembahasan

Diketahui: $|\vec a| = 2\sqrt3; |\vec b| = 4$Karena vektor $\vec a$ tegak lurus dengan $(\vec a +\vec b)$, maka $\vec a \bullet (\vec a + \vec b) = 0$.Dari sini, kita peroleh$$\beginaligned \vec a \bullet \vec a + \vec a \bullet \vec b & = 0 \ |\vec a| |\vec a| \cos 0^\circ + |\vec a||\vec b| \cos \theta & = 0 \ 2\sqrt3 \cdot 2\sqrt3 \cdot 1 + 2\sqrt3 \cdot 4 \cdot \cos \theta & = 0 \ 12+8\sqrt3 \cos \theta & = 0 \ \cos \theta & =-\dfrac128\sqrt3 \ & =-\dfrac32\sqrt3 \times \dfrac\sqrt3\sqrt3 \ & =-\dfrac\cancel3\sqrt32(\cancel3) \ & =-\dfrac12\sqrt3 \endaligned$$Karena $\cos \theta =-\dfrac12\sqrt3$, maka nilai $\boxed\theta = 150^\circ$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19Diketahui limas $T.ABC$ mempunyai koordinat $T(1, 0, 3), A(0, 0, 0), B(5, 0, 0)$, dan $C(1, 4, 0)$. Jika $\theta$ merupakan sudut antara $\vecTB$ dan $\vecTC$, maka nilai $\cos \theta$ adalah $\cdots \cdot$A. $-\dfrac925$                       D. $\dfrac35$B. $-\dfrac35$                         E. $\dfrac925$C. $\dfrac325$

Pembahasan

Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui$\beginaligned \vecTB & = B- T = (5, 0, 0)- (1, 0, 3) \ & = (4,0,-3) \ \vecTC & = C- T = (1,4,0)-(1,0,3) \ & =(0,4,-3) \endaligned$Panjang kedua vektor tersebut dinyatakan oleh$\beginaligned |\vecTB| & = \sqrt(4)^2+(0)^2+(-3)^2 = 5 \|\vecTC| & = \sqrt(0)^2+(4)^2+(-3)^2 = 5 \endaligned$Cosinus dari sudut antara $\vecTB$ dan $\vecTC$ dapat ditentukan dengan menggunakan rumus cosinus vektor.$\beginaligned \cos \theta & = \dfrac\vec TB \bullet \vecTC\vec TC \ & = \dfrac(4,0,-3) \bullet (0, 4,-3)5 \cdot 5 \ & = \dfrac4(0) + 0(4) + (-3)(-3)25 = \dfrac925 \endaligned$Jadi, nilai $\boxed\cos \theta = \dfrac925$(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 20Jika sudut antara vektor $\vec a = \widehati+\widehatj-r\widehatk$ dan $\vec b = r\widehati-r\widehatj-2\widehatk$ adalah ^\circ$. Nilai $r$ positif yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$A. $\sqrt2$               C. [scrape_url:1]

[title]

[content]

[/scrape_url]$                  E. $-\sqrt2$B. 1$                  D. $-1$       

Pembahasan

Diketahui $\vec a = (1, 1,-r), \vec b = (r,-r,-2)$ dan $\angle(\vec a, \vec b) = \theta = 60^\circ$Dengan menggunakan Rumus Cosinus Vektor, diperoleh$$\beginaligned \cos \theta & = \dfrac\vec a \bullet \vec b \cdot \ & = \dfrac(1,1,-r) \bullet (r,-r,-2)\sqrt(1)^2+(1)^2+(-r)^2 \cdot \sqrt(r)^2+(-r)^2+(-2)^2 \ \cos 60^\circ & = \dfrac1(r) + 1(-r) + (-r)(-2)\sqrt2+r^2 \cdot \sqrt2r^2+4 \ \dfrac12 & = \dfrac2r\sqrt2r^4+8r^2+8 \ 4r & = \sqrt2r^4+8r^2+8 \ & \textKuadratkan~\textkedua ruas \ 16r^2 & = 2r^4+8r^2+8 \ 0 & = 2r^4-8r^2+8 \ 0 & = r^4-4r^2+4 \ 0 & = (r^2-2)(r^2-2) \endaligned$$Didapat $r^2 = 2 \Leftrightarrow r = \pm \sqrt2$Karena $r$ dikatakan bernilai positif, maka $\boxedr = \sqrt2$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21Diketahui vektor $\vec u =(0,2,2)$ dan $\vec v =(-2,0,2)$. Proyeksi vektor ortogonal $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\cdots \cdot$A. $-\widehat i+\widehat k$B. $-\widehat i+ \dfrac12 \widehat k$C. $-\widehat i- \widehat k$D. $-2i+ \widehat k$E.

[title]

[content]

\widehat i- \widehat k$

Pembahasan

Proyeksi ortogonal vektor $\vec u$ pada $\vec v$ dinyatakan oleh$\boxed\vec u_\vec v = \dfrac\vec u \bullet \vec v \cdot \vec v$Untuk $\vec u = (0,2,2)$ dan $\vec v =(-2,0,2)$, diperoleh$$\beginaligned \vec u_\vec v & = \dfrac(0,2,2) \bullet (-2,0,2) (\sqrt(-2)^2+(0)^2+(2)^2)^2 \cdot (-2,0,2) \ & = \dfrac(0)(-2)+(2)(0)+(2)(2) 4+4 \cdot (-2,0,2) \ & = \dfrac48 \cdot (-2,0,2) \ & = (-1,0,1) \endaligned$$Jadi, proyeksi ortogonal vektor $\vec u = (0,2,2)$ pada $\vec v=(-2,0,2)$ adalah $(-1,0,1)$ atau bila dinyatakan dalam vektor komponen menjadi $\boxed-\widehat i + \widehat k$(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22Proyeksi ortogonal vektor $\vec a = 4\widehati+\widehatj+3\widehatk$ pada $\vec b = 2\widehati+\widehatj+3\widehatk$ adalah $\cdots \cdot$A. $\dfrac1314(2\widehati+\widehatj+3\widehatk)$B. $\dfrac1514(2\widehati+\widehatj+3\widehatk)$C. $\dfrac87(2\widehati+\widehatj+3\widehatk)$D. $\dfrac97(2\widehati+\widehatj+3\widehatk)$E. \widehati+2\widehatj+6\widehatk$

Pembahasan

Proyeksi ortogonal vektor $\vec a$ pada $\vec b$ dinyatakan oleh$\boxed\vec a_\vec b = \dfrac\vec a \bullet \vec b ^2 \cdot \vec b$Untuk $\vec a = (4,1,3)$ dan $\vec b =(2,1,3)$, diperoleh$\beginaligned \vec a_\vec b & = \dfrac(4,1,3) \bullet (2,1,3) (\sqrt(2)^2+(1)^2+(3)^2)^2 \cdot (2,1,3) \ & = \dfrac(4)(2)+(1)(1)+(3)(3) 4+1+9 \cdot (2,1,3) \ & = \dfrac1814 \cdot (2,1,3) \ & = \dfrac97(2\widehati+\widehatj+3\widehatk) \endaligned$Jadi, proyeksi ortogonal vektor $\vec a = (4,1,3)$ pada $\vec b=(2,1,3)$ adalah $\boxed\dfrac97(2\widehati+\widehatj+3\widehatk)$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 23Diketahui vektor $\vec a = \widehati-5\widehatj+2\widehatk$ dan $\vec b = 8\widehati+m\widehatk$. Panjang proyeksi vektor $\vec b$ pada $\vec a$ adalah $\dfrac15|\vec a|$. Vektor proyeksi ortogonal $\vec b$ pada $\vec a$ adalah $\cdots \cdot$A. $-\dfrac85 \widehat i-5\widehat j+\dfrac65 \widehat k$B. $\widehat i+2 \widehat j+5 \widehat k$C. $\widehat i+5\widehat j+2\widehat k$D. $\dfrac15 \widehat i- \widehat j+\dfrac25 \widehat k$E. $\dfrac15 \widehat i+\widehat j+2\widehat k$

Pembahasan

Diketahui:$\beginaligned \vec a & = (1,-5, 2) \ \vec b & = (8,0,m) \ |\vec b_\vec a| & = \dfrac15|\vec a| \endaligned$Akan dicari nilai $m$ dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor.$$\beginaligned |\vec b_\vec a| & = \dfrac\vec b \bullet \vec a \ \dfrac15|\vec a| & = \dfrac(8,0,m) \bullet (1,-5,2) \ \dfrac15\sqrt(1)^2+(-5)^2+(2)^2 & = \dfrac8(1)+0(-5)+m(2)\sqrt(1)^2+(-5)^2+(2)^2 \ \dfrac15\sqrt30 & = \dfrac8+2m\sqrt30 \ 40+10m & = 30 \ 10m & =-10 \ m & =-1 \endaligned$$Dengan demikian, vektor proyeksi $\vec b$ pada $\vec a$ dinyatakan oleh$\beginaligned \vec b_\vec a & = \dfrac\vec b \bullet \vec a^2 \cdot \vec a \ & = \dfrac8+2m(\sqrt30)^2 \cdot (\widehati-5\widehatj+2\widehatk) \ & = \dfrac8+2(-1)30 \cdot (\widehati-5\widehatj+2\widehatk) \ & = \dfrac15(\widehati-5\widehatj+2\widehatk) \ & = \;\boxed\dfrac15\widehati-\widehatj+\dfrac25\widehatk\endaligned$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 24Diketahui bahwa $|\vec a|=\sqrt3,|\vec b|=1$, dan $|\vec a-\vec b|=1$. Panjang vektor $(\vec a + \vec b)$ adalah $\cdots \cdot$A. $\sqrt3$                        D.

[title]

[content]

\sqrt2$B. $\sqrt5$                        E. $C. $\sqrt7$

Pembahasan

Dengan menerapkan Rumus Cosinus Vektor, diperoleh$\beginaligned |\vec a-\vec b| & = 1 \ \sqrt & = 1 \ \textKuadratkan kedua ruas & \ |\vec a|^2 + |\vec b|^2-2|\vec a||\vec b| \cos \theta & = 1 \ (\sqrt3)^2 + (1)^2-2(\sqrt3)(1) \cos \theta & = 1 \ 4-2\sqrt3 \cos \theta & = 1 \ \cos \theta & = \dfrac-3-2\sqrt3 \ \cos \theta & = \dfrac32\sqrt3 \endaligned$Dengan demikian, $$\beginaligned |\vec a + \vec b| & = \sqrt^2 + \ & = \sqrt(\sqrt3)^2 + (1)^2 + \cancel2(\sqrt3)(1) \times \dfrac3\cancel2\sqrt3 \ & = \sqrt3+1+3 =\sqrt7 \endaligned$$Jadi, panjang vektor $(\vec a + \vec b)$ adalah $\boxed\sqrt7$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25Misalkan panjang vektor $\vec a$ adalah 1$ dan panjang vektor $\vec b$ adalah 4 serta $\vec a \bullet \vec b =3$. Panjang vektor

[title]

[content]

\vec a- \vec b$ adalah $\cdots \cdot$A. $\sqrt2$                         D. $\sqrt3$B.

[title]

[content]

\sqrt2$                       E.

[title]

[content]

\sqrt3$C. $

Pembahasan

Diketahui:$\beginaligned |\vec a| & = 1 \ |\vec b| & = 4 \ \vec a \bullet \vec b & = 3 \endaligned$Cosinus sudut antara $\vec a$ dan $\vec b$ dinyatakan oleh$\cos \theta = \dfrac\vec a \bullet \vec b = \dfrac31 \cdot 4= \dfrac34$Karena $\vec 2a$ merupakan perpanjangan dari $\vec a$, maka sudut yang terbentuk oleh $\vec 2a$ dan $\vec b$ sama dengan sudut yang terbentuk oleh $\vec a$ dan $\vec b$, yaitu $\theta$, sehingga dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, diperoleh$\beginaligned |2\vec a-\vec b| & = \sqrt2a \ & = \sqrt(2(1))^2 + (4)^2-2(2)(\cancel4) \dfrac3\cancel4 \ & = \sqrt4+16-12 = \sqrt8 = 2\sqrt2 \endaligned$Jadi, panjang vektor

[title]

[content]

\vec a- \vec b$ adalah $\boxed2\sqrt2$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 26Diketahui vektor $\vec a =(2,-2\sqrt2,4), \vec b = (-1,p,q)$, dan $\vec c=(3,\sqrt2,-1)$. Jika vektor $\vec a$ berlawanan arah dengan vektor $\vec b$, nilai $(\vec a- \vec b) \bullet (\vec b- \vec c) = \cdots \cdot$A. $-18$                         D. $B. $-12$                         E. $C. $-6$

Pembahasan

Diketahui:$\beginaligned \vec a & = (2,-2\sqrt2,4) \ \vec b & = (-1, p, q) \ \vec c & = (3,\sqrt2,-1) \endaligned$Karena $\vec a$ berlawanan arah dengan $\vec b$, maka haruslah ada skalar $k < 0$, sehingga memenuhi$\vec a = k\vec b \Rightarrow (2,-2\sqrt2, 4) = k(-1,p,q)$Dari absis, kita peroleh

[title]

[content]

=-k \Leftrightarrow k =-2$Dengan demikian,$-2\sqrt2 =-2p \Leftrightarrow p = \sqrt2$dan =-2q \Leftrightarrow q =-2$sehingga $\vec b = (-1, \sqrt2,-2)$Untuk itu,$\beginaligned & (\vec a- \vec b) \bullet (\vec b- \vec c) \ & = [(2,-2\sqrt2, 4)- (-1, \sqrt2,-2)] \ & \bullet [(-1, \sqrt2,-2)- (3, \sqrt2,-1)] \ & = (3,-3\sqrt2, 6) \bullet (-4, 0,-1) \ & = 3(-4) + (-3\sqrt2)(0) + 6(-1) \ & =-12 + 0- 6 =-18 \endaligned$Jadi, nilai $\boxed(\vec a- \vec b) \bullet (\vec b- \vec c)=-18$Catatan: Skalar yang dimaksud di sini adalah bilangan real.(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 27Jika $\vec a + \vec b= \widehati-\widehatj+4\widehatk$ dan $|\vec a-\vec b| = \sqrt14$, maka $\vec a \bullet \vec b = \cdots \cdot$A. [scrape_url:1]

[title]

[content]

[/scrape_url]$                  C. $\dfrac12$              E.

[title]

[content]

$B. $\dfrac14$                D. 1$         

Pembahasan

Karena $\vec a + \vec b= \widehati-\widehatj+4\widehatk$, maka panjangnya adalah$|\vec a + \vec b| = \sqrt(1)^2+(-1)^2+(4)^2 = \sqrt18$Perhatikan bahwa,$\beginaligned |\vec a- \vec b|^2 & = |\vec a|^2 + |\vec b|^2- 2|\vec a||\vec b| \cos \theta = 14 \ |\vec a + \vec b|^2 & = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2|\vec a||\vec b| \cos \theta = 18 \endaligned$Kurangi kedua persamaan di atas, sehingga diperoleh$\beginaligned-4|\vec a||\vec b| \cos \theta & =-4 \ |\vec a||\vec b| \cos \theta & = 1 \ \vec a \bullet \vec b & = 1 \endaligned$Jadi, perkalian titik dari vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed\vec a \bullet \vec b = 1$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 28Diketahui vektor $\vec k=(9,0,-6), \vec l=(2,4,-1)$, $\vec m =(2,1,2)$, dan $\vec n=(1,-3,-2)$. Jika $\vec k = a \vec l + b \vec m + c \vec n$, maka

[title]

[content]

a+5b-7c=\cdots \cdot$A. $-12$                  C. [scrape_url:1]

[title]

[content]

[/scrape_url]$                  E. $B. $-5$                    D. 1$         

Pembahasan

Diketahui:$\beginaligned \vec k & = (9,0,-6) \ \vec l & =(2,4,-1) \ \vec m & =(2,1,2) \ \vec n & =(1,-3,-2) \endaligned$Dengan menggunakan operasi penjumlahan pada vektor, diperoleh$$\beginaligned \vec k & = a \vec l + b \vec m + c \vec n \ (9, 0,-6) & = a(2,4,-1)+b(2,1,2)+c(1,-3,-2) \ (9, 0,-6) & = (2a+2b+c, 4a+b-3c,-a+2b-2c) \endaligned$$Dari sini, diperoleh SPLTV:$\begincases 2a+2b+c = 9 \ 4a+b-3c = 0 \-a+2b-2c=-6 \endcases$SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan banyak cara seperti Metode Substitusi/Eliminasi, Aturan Cramer, Aturan Invers, Eliminasi Gauss/Jordan, dan sebagainya.Penyelesaian SPLTV di atas adalah $a=2, b=1,c=3$.Untuk itu,$\beginaligned 2a+5b-7c & =2(2)+5(1)-7(3)\ & =4+5-21=-12 \endaligned$Jadi, nilai dari $\boxed2a+5b-7c=-12$(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- SPLTV

Soal Nomor 29Jika $(\vec u + \vec v)$ tegak lurus dengan $(\vec u-\vec v)$, maka pernyataan berikut ini yang paling tepat adalah $\cdots \cdot$A. $|\vec u + \vec v|=|\vec u-\vec v|$ B. $|\vec u|=|\vec v|$C. $\vec u = \vec v$D. arah $\vec u$ = arah $\vec v$E. $\vec u$ tegak lurus dengan $\vec v$

Pembahasan

Karena $(\vec u + \vec v)$ tegak lurus dengan $(\vec u-\vec v)$, maka berlaku$\beginaligned (\vec u + \vec v) \bullet (\vec u + \vec v) & = 0 \ (\vec u \bullet \vec u)-(\vec v \bullet \vec v) & = 0 \ (|\vec u|^2 \cos 0^\circ)-(|\vec v|^2 \cos 0^\circ) & = 0 \ |\vec u|^2 & = |\vec v|^2 \endaligned$Karena masing-masing $|\vec u|$ dan $|\vec v|$ menyatakan panjang vektor, maka nilainya tak mungkin negatif, sehingga didapat $|\vec u| = |\vec v|$.(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 30Diketahui titik $A(2,1,-4),B(2,-4,6)$, dan $C(-2,5,4)$. Titik $P$ membagi $AB$ sehingga $AP:PB=3:2$. Vektor yang diawali oleh $\vecPC$ adalah $\cdots \cdot$A. $(-4,3,-6)$              D. $(4,-7,-2)$B. $(-4,-7,2)$              E. $(-4,7,2)$C. $(-4,3,6)$

Pembahasan

Titik $P$ berada pada $AB$ dengan $AP : PB = 3 : 2$, sehingga koordinat titik $P$ dapat ditentukan sebagai berikut.1) Absis$\beginaligned x_P & = \dfrac13+2(2x_A + 3x_B) \ & = \dfrac15(2(2)+3(2)) = 2 \endaligned

[title]

[content]

) Ordinat$\beginaligned y_P & = \dfrac13+2(2y_A + 3y_B) \ & = \dfrac15(2(1)+3(-4)) =-2 \endaligned ) Aplikat$\beginaligned z_P & = \dfrac13+2(2z_A + 3z_B) \ & = \dfrac15(2(-4)+3(6)) = 2 \endaligned$Jadi, koordinat titik $P$ adalah $(2,-2, 2)$.Dengan demikian,$\boxed\beginaligned \vec PC & = C- P = (-2, 5, 4)-(2,-2, 2) \ & = (-4, 7, 2) \endaligned$(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 31$ABCD$ adalah segi empat sembarang. Titik $S$ dan $T$ masing-masing titik tengah $AC$ dan $BD$. Jika $\vecST = u$, maka $\vecAB + \vecAD + \vecCB +\vecCD = \cdots \cdot$

A $\vec u$                   D. \vec u$B.

[title]

[content]

\vec u$                E. \vec u$C. \vec u$ Pembahasan

Cara 1:Perhatikan bahwa$\beginaligned \vecAB & = \vec AS + \vec ST + \vec TB \ \vecAD & = \vec AS + \vec ST + \vec TD \ \vecCB & = \vec CS + \vec ST + \vec TB \ \vecCD & = \vec CS + \vec ST + \vec TD \endaligned$Karena $T$ titik tengah $BD$, maka $\vec TB$ dan $\vecTD$ memiliki panjang yang sama dan arahnya berlawanan, sehingga $\vecTB =-\vecTD$. Karena $S$ titik tengah $AC$, maka $\vec AS$ dan $\vecCS$ juga memiliki panjang yang sama dan arahnya berlawanan, sehingga $\vecAS =-\vecCS$. Dengan demikian, apabila keempat persamaan di atas dijumlah, diperoleh$\vecAB + \vecAD + \vecCB +\vec CD = 4\vecST = 4\vec u$Cara 2:Misal vektor posisi titik $A,B,C,D$ berturut-turut adalah $\vec a, \vec b, \vec c, \vec d$.Karena $S$ di tengah $AC$, maka vektor posisi $S$ adalah $\vec s = \dfrac\vec a + \vec c2$, dan juga karena $T$ di tengah $BD$, maka vektor posisi $T$ adalah $\vec t = \dfrac\vec b + \vec d2$.Dengan demikian,$\vecST = \vec u = \vec t-\vec s = \dfrac\vec b+\vec d2-\dfrac\vec a+ \vec c2$Ini berarti,$\beginaligned & \vecAB + \vecAD + \vecCB +\vec CD \ & = (\vec b- \vec a) + (\vec d-\vec a) + (\vec b-\vec c) + (\vec d-\vec c) \ & = 2(\vec b + \vec d)-2(\vec a + \vec c) \ & = 4\left(\dfrac\vec b+ \vec d2-\dfrac\vec a+ \vec c2\right) = 4\vec u \endaligned$Jadi, $\boxed\vecAB + \vecAD + \vecCB +\vec CD =4 \vec u$(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 32Diketahui tiga buah vektor, yakni $\vec u = 3\widehat i-\widehat j+2 \widehat k, \vec v = \widehat i + n \widehat j-2\widehat k$, dan $\vec w = \widehat i + m\widehat j-p \widehat k$ saling tegak lurus. Nilai $m+n+p=\cdots \cdot$A. $\dfrac12$                  C. 1\dfrac12$                E.

[title]

[content]

\dfrac12$B. 1$                   D.

[title]

[content]

$

Pembahasan

Diketahui:$\beginaligned \vec u & = (3,-1, 2) \ \vec v & = (1, n,-2) \ \vec w & = (1, m,-p) \endaligned$Karena $\vec u$ dan $\vec v$ saling tegak lurus, maka$\beginaligned \vec u \bullet \vec v & = 0 \ (3,-1,2) \bullet (1,n,-2) & = 0 \ 3(1) + (-1)(n)+2(-2) & = 0 \ 3-n-4 & = 0 \ n & =-1 \endaligned$Ini berarti, $\vec v = (1,-1,-2)$.Karena $\vec u$ dan $\vec w$ saling tegak lurus, maka$\beginaligned \vec u \bullet \vec w & = 0 \ (3,-1,2) \bullet (1,m,-p) & = 0 \ 3(1) + (-1)(m)+2(-p) & = 0 \ 3-m-2p & = 0 \ m+2p = 3 \endaligned$Karena $\vec u$ dan $\vec w$ saling tegak lurus, maka$\beginaligned \vec v \bullet \vec w & = 0 \ (1,-1,-2) \bullet (1,m,-p) & = 0 \ 1(1) + (-1)(m)+(-2)(-p) & = 0 \ 1-m+2p & = 0 \-m+2p =-1 \endaligned$Diperoleh SPLDV: $\begincases m+2p = 3 \-m+2p=-1 \endcases$ yang memiliki penyelesaian $m = 2$ dan $p = \dfrac12$.Jadi, nilai $\boxedm+n+p=2+(-1)+\dfrac12 = 1\dfrac12$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 33Jika $\veca+\vecb+\vecc = 0$, $|a| = 3$, $|b| = 5$, dan $|c| = 7$, maka besar sudut antara $\veca$ dan $\vecb$ sama dengan $\cdots \cdot$A. $\dfrac\pi6$                 C. $\dfrac\pi3$                E. $\dfrac2\pi3$B. $\dfrac\pi4$                 D. $\dfrac\pi2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa $\veca+\vecb+\vecc = 0$ ekuivalen dengan $\veca + \vecb = -\vecc$ dengan representasi gambarnya berupa segitiga sembarang sebagai berikut.

Misalkan sudut yang dibentuk oleh $\veca$ dan $\vecb$ adalah $\theta$, maka dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh$\beginaligned |c|^2 & = |a|^2 + |b|^2-2|a| |b| \cos \theta \ 7^2 & = 3^2+5^2-2(3)(5) \cos \theta \ 49 & = 9+25-30 \cos \theta \ 49 & = 34-30 \cos \theta \ 15 & = -30 \cos \theta \ \cos \theta & = -\dfrac1530 = -\dfrac12 \endaligned$Diperoleh $\theta = 120^\circ$ atau $\theta = \dfrac2\pi3$.Jadi, besar sudut antara $\veca$ dan $\vecb$ sama dengan $\boxed\dfrac2\pi3$(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 34 (Soal Utul UGM 2018)Diberikan vektor $\vecu = (a,b,c)$ dan $\vecv = (b, a, 3)$. Jika $\vec u \cdot \vecv = |\vecu|^2$ dan $|\vecu-\vecv|^2 = 5$, maka nilai $c^3+2c+2$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$A. $-2$                    C.

[title]

[content]

$                    E. $B. $-1$                    D. $

Pembahasan

Diketahui$\vecu = (a,b,c)~~~~\vecv = (b, a, 3)$.Karena $\vec u \cdot \vecv = |\vecu|^2$, maka berdasarkan definisi perkalian skalar vektor dan panjang vektor, diperoleh persamaan$\beginaligned ab + ab + 3c & = a^2+b^2+c^2 \ \colorbluea^2+b^2+c^2-2ab-3c & = 0 \endaligned$Karena $|\vecu-\vecv|^2 = 5$, maka kita peroleh$\beginaligned (a-b)^2+(b-a)^2+(c-3)^2 & = 5 \ 2(a-b)^2 + (c-3)^2 & = 5 \ (2a^2-4ab+2b^2)+(c^2-6c+9) & = 5 \ 2a^2+2b^2+c^2-4ab-6c & =-4 \ 2(\colorbluea^2+b^2+c^2-2ab-3c)-c^2 & =-4 \ 2(0)-c^2 & =-4 \ c & = \pm 2 \endaligned$Untuk $c = 2$, diperoleh$c^3+2c+2 = (2)^3+2(2)+2 = 14$Untuk $c=-2$, diperoleh$c^3+2c+2 = (-2)^3+2(-2)+2 =-10$Jadi, nilai $c$ yang mungkin adalah $\boxed14~\textatau~-10$(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 35Diketahui vektor-vektor $\vec u = b\widehati+a\widehatj+9\widehatk$ dan $\vec v = a\widehati-b\widehatj+a\widehatk$. Sudut antara vektor $\vec u$ dan $\vec v$ adalah $\theta$ dengan $\cos \theta = \dfrac611$. Proyeksi ortogonal $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\vec p = 4\widehati-2\widehatj+4\widehatk$. Nilai dari $b=\cdots \cdot$A. $\sqrt2$                      D. $B.

[title]

[content]

$                          E. \sqrt2$C.

[title]

[content]

\sqrt2$

Pembahasan

Diketahui:$\beginaligned \vec u & = (b, a, 9) \ \vec v & = (a,-b, a) \ \angle(\vec u, \vec v) & = \theta \ \cos \theta & = \dfrac611 \ \vec u_\vec v & = \vec p = (4,-2, 4) \endaligned$Misalkan $n = \dfrac\vec u \bullet \vec v $.Dengan menggunakan rumus proyeksi ortogonal vektor, didapat$\beginaligned \vec u _\vec v & = n \cdot \vec v \ (4,-2,4) & = n(a,-b, a) \ (4,-2,4) & = (na,-nb, an) \endaligned$Dari sini, diperoleh =na$ dan $-2=-nb$.Kedua persamaan di atas dapat ditulis menjadi$n = \dfraca4$ dan $n = \dfrac2b$Untuk itu, $\dfraca4 = \dfrac2b \Leftrightarrow a = 2b$Selanjutnya, dengan menggunakan rumus cosinus vektor, didapat$$\beginaligned \cos \theta & = \dfrac\vec u \bullet \vec v\vec v \ \dfrac611 & = \dfrac(b, a, 9) \bullet (a,-b, a)\sqrtb^2+a^2+(9)^2 \cdot \sqrta^2 + (-b)^2 + a^2 \ \dfrac611 & = \dfracab- ab + 9a\sqrta^2+b^2+81 \cdot \sqrt2a^2 + b^2 \ & \textSubstitusikan~a = 2b \ \dfrac611 & = \dfrac9(2b)\sqrt(2b)^2+b^2+81 \cdot \sqrt2(2b)^2 +b^2 \ \dfrac611 & = \dfrac18b\sqrt5b^2+81 \cdot \sqrt9b^2 \ \dfrac611 & = \dfrac\cancelto618b\sqrt5b^2+81 \cdot \cancel3b \ 11 & = \sqrt5b^2+81 \ 121 & = 5b^2+81 \ b^2 & = \dfrac121-815 = 8 \ b & = 2\sqrt2 \endaligned$$Jadi, nilai $b$ adalah $\boxed2\sqrt2$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 36 Bangun $ABCD$ berikut merupakan trapesium dengan $AE=FB$.Jika $\vecAB = 3\veci-3\vecj+4\veck$ dan $\vecAD = \veci-2\vecj+\veck$, maka $\vecDC = \cdots \cdot$A. $\dfrac417\left(3\veci-3\vecj+4\veck\right)$B. $\dfrac1334\left(3\veci-3\vecj+4\veck\right)$C. $\dfrac1317\left(3\veci-3\vecj+4\veck\right)$D. $\dfrac511\left(3\veci-3\vecj+4\veck\right)$E. $\dfrac211\left(3\veci-3\vecj+4\veck\right)$

Pembahasan

Diketahui $\vecAB = (3, -3, 4)$ dan $\vecAD = (1, -2, 1)$.Proyeksi vektor ortogonal $\vecAD$ pada $\vecAB$ dinyatakan oleh$$\beginaligned \vecAE & = \dfrac\vecAD \bullet \vecAB^2 \cdot \vecAB \ & = \dfrac(1, -2, 1) \bullet (3, -3, 4)3^2+(-3)^2+4^2 \cdot \vecAB \ & = \dfrac1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-3) + 1 \cdot 49+9+16 \cdot \vecAB \ & = \dfrac1334 \cdot \vecAB \endaligned$$Dengan demikian, didapat$$\beginaligned \vecDC & = \vecEF \ & = \vecAB-\vecAE-\vecFB \ & = \vecAB-2\vecAE && (\vecAE = \vecFB) \ & = \vecAB-2 \cdot \dfrac1334 \vecAB \ & = \left(1-\dfrac1317\right) \vecAB \ & = \dfrac417\left(3\veci-3\vecj+4\veck\right) \endaligned$$Jadi, vektor $DC$ dinyatakan oleh $\boxed\vecDC = \dfrac417\left(3\veci-3\vecj+4\veck\right)$(Jawaban A)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1Diketahui $ABCDEF$ adalah segi enam beraturan dengan pusat $O.$ Jika vektor $\vecAB = \vecu$ dan $\vecAF = \vecv,$ tentukan vektor-vektor di bawah ini dalam $\vecu$ dan $\vecv.$

a. $\vecOA$b. $\vecAE$c. $\vecAD$

Pembahasan

Jawaban a)Diketahui $\vecAB = \vec u$ dan $\vecAF = \vec v$. Dengan demikian,$\vecOF = -\vecAB = -\vec u.$Untuk itu,$\beginaligned \vecOA & = \vecOF + \vecFA \ & = \vecOF-\vecAF \ & = \vec u -\vec v \endaligned$Jadi, diperoleh $\boxed\vecOA = \vec u-\vec v$Jawaban b)Diketahui $\vecAF = \vec v$. Dari jawaban a di atas, diketahui juga bahwa $\vecOA = \vecEF = \vec u-\vec v.$Untuk itu,$\beginaligned \vecAE & = \vecAF + \vecFE \ & = \vecAF-\vecEF \ & = \vec v-(\vec u-\vec v) = 2 \vec v-\vec u \endaligned$Jadi, diperoleh $\boxed\vecAE = 2 \vec v-\vec u$Jawaban c)Dari jawaban a di atas, diketahui bahwa $\vecOA = \vec u- \vec v$ sehingga$\vecAO = \vec v-\vec u.$Karena $\vecAO = \vecOD$ (memiliki arah dan nilai yang sama), maka$\beginaligned \vecAD & = \vecAO + \vecOD \ & = \vecAO + \vecAO \ & = 2\vecAO = 2(\vec v-\vec u) \endaligned$Jadi, diperoleh $\boxed\vecAD = 2(\vec v-\vec u)$

[collapse]

Soal Nomor 2Pada persegi panjang $OPQR$, diketahui $M$ titik tengah $QR$ dan $N$ titik tengah $PR$. Jika $\vec u = \vecOP$ dan $\vec v = \vecOQ$, nyatakan $\vecMN$ dalam $\vec u$ dan $\vec v$.

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Diketahui:$\beginaligned \vecOP & = \vec u \ \vecOQ & = \vec v \endaligned$Perhatikan vektor $QP$. Jumlah dari vektor $QO$ dan $OP$ sama dengan $\vecQP$, sehingga$\beginaligned \vecQP & = \vecQO + \vecOP \ & =-\vecOQ + \vecOP \ & =-\vec v + \vec u \endaligned$Karena panjang $\vecMN$ setengah dari panjang $\vecQP$, maka$\boxed\vecMN = \dfrac12(-\vec v + \vec u)$ [collapse]

Soal Nomor 3Given vectors $\vec a = 2\widehat i-\widehat j + 2 \widehat k$ and $\vec b = 4\widehat i-x \widehat j-8 \widehat k$. If vectors $(\vec a + \vec b)$ is perpendicular to $\vec a$, find the unit vector which has the same direction as $\vec b$.Diberikan vektor $\vec a = 2\widehat i-\widehat j + 2 \widehat k$ and $\vec b = 4\widehat i-x \widehat j-8 \widehat k$. Jika vektor $(\vec a + \vec b)$ tegak lurus dengan $\vec a$, tentukan vektor satuan yang memiliki arah yang sama dengan $\vec b$.

Pembahasan

Diketahui: $\beginaligned \vec a & = (2,-1, 2) \ \vec b & = (4,-x,-8) \endaligned$Karena vektor $(\vec a + \vec b)$ tegak lurus dengan $\vec a$, maka$\beginaligned (\vec a + \vec b) \bullet \vec a & = 0 \ [(2,-1, 2) + (4,-x,-8) \bullet (2,-1, 2) & = 0 \ (6,-1-x,-6) \bullet (2,-1, 2) & = 0 \ 6(2) + (-1-x)(-1) + (-6)(2) & = 0 \ \cancel12 + 1 + x-\cancel12 & = 0 \ 1+x & = 0 \ x & =-1 \endaligned$Dengan demikian, vektor $b$ dinyatakan oleh $\vec b = (4,-(-1),-8) = (4, 1,-8)$Untuk mencari vektor satuan yang searah dengan vektor $\vec b$, kita hanya perlu membagi tiap komponen vektor $\vec b$ dengan panjangnya.Diketahui panjang (magnitude) $\vec b$ adalah$\beginaligned |\vec b| & = \sqrt(4)^2+(1)^2+(-8)^2 \ & = \sqrt16+1+64 = \sqrt81 = 9 \endaligned$Vektor satuan yang dimaksud adalah $\beginaligned \vec b_i & = \dfrac\vec b\vec b \ & = \dfrac19(4, 1,-8) \ & = \left(\dfrac49, \dfrac19,-\dfrac89\right) \endaligned$Catatan: Untuk mengecek apakah jawaban ini benar, kita hanya perlu mencari panjang vektor $\vec b_i$. Karena vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1, maka haruslah $|\vec b_i| = 1$.

[collapse]

Soal Nomor 4Jika $|\vec a| = 10, |\vec b| = 6$, dan $\angle(\vec a, \vec b) = 60^\circ$, maka tentukan:a. $|\vec a + \vec b|$;b. $|\vec a-\vec b|$;c. $|2\vec a-\vec b|$.

Pembahasan

Jawaban a)Dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, didapat$\beginaligned |\vec a + \vec b| & = \sqrt \ & = \sqrt10^2+6^2+2(10)(6) \cos 60^\circ \ & = \sqrt100+36+\cancel2(60) \dfrac1\cancel2 \ & = \sqrt196 = 14 \endaligned$Jadi, panjang vektor $(\vec a + \vec b)$ adalah $\boxed14$Jawaban b)Karena $\angle(\vec a, \vec b) = 60^\circ$, maka $\angle(\vec a,-\vec b) = 180^\circ-60^\circ = 120^\circ$, sehingga dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, diperoleh$$\beginaligned |\vec a-\vec b| & = \sqrt^2+2 \ & = \sqrt10^2+(-6)^2+2(10)(-6) \cos 120^\circ \ & = \sqrt100+36-\cancel2(60) \left(-\dfrac1\cancel2\right) \ & = \sqrt196 = 14 \endaligned$$Jadi, panjang vektor $(\vec a-\vec b)$ adalah $\boxed14$Jawaban c)Karena $\angle(\vec a, \vec b) = 60^\circ$, maka $\angle(2\vec a,-\vec b) = 180^\circ-60^\circ = 120^\circ$.(Kelipatan skalar vektor tidak mengubah arahnya)Dengan menggunakan Aturan Cosinus Vektor, diperoleh$$\beginaligned |2\vec a-\vec b| & = \sqrt \ & = \sqrt4(10)^2+(-6)^2+2(2)(10)(-6) \cos 120^\circ \ & = \sqrt400+36-\cancel2(120) \left(-\dfrac1\cancel2\right) \ & = \sqrt556 = 2\sqrt139 \endaligned$$Jadi, panjang vektor $(2\vec a,-\vec b)$ adalah $\boxed2\sqrt139$

[collapse]

Soal Nomor 5Jika $|\vec a| = 1, |\vecb| = 9$, dan $\veca \bullet \vecb = 5$, tentukan:a. besar $(\veca-\vecb)$;b. besar $(2\veca-3\vecb)$.

Pembahasan

Jawaban a)$\beginaligned |\veca-\vecb| & = \sqrt(\veca-\vecb)^2 \ & = \sqrt\veca \bullet \veca-2 \cdot \veca \bullet \vecb+\vecb \bullet \vecb \ & = \sqrt\veca \ & = \sqrt(1)^2-2 \cdot 5 + (9)^2 \ & = \sqrt1-10+81 = \sqrt72 = 6\sqrt2 \endaligned$Jawaban b)$$\beginaligned |2\veca-3\vecb| & = \sqrt(2\veca-3\vecb)^2 \ & = \sqrt4 \cdot \veca \bullet \veca-12 \cdot \veca \bullet \vecb+9 \cdot \vecb \bullet \vecb \ & = \sqrt\veca \ & = \sqrt4(1)^2-12 \cdot 5 + 9(9)^2 \ & = \sqrt4-60+729 = \sqrt673 \endaligned$$

[collapse]

Soal Nomor 6Diberikan segitiga sama sisi dengan panjang sisi $ satuan seperti gambar.Tentukan hasil dari $\veca \bullet (\veca + \vecb + \vecc)$.

Pembahasan

Berdasarkan prinsip penjumlahan vektor, kita tahu bahwa $\veca + \vecc = \vecb$ sehingga$\beginaligned \veca \bullet (\veca + \vecb + \vecc) & = \veca \bullet (\vecb + \vecb) \ & = 2(\veca \bullet \vecb) \endaligned$Selanjutnya, akan dicari nilai $\veca \bullet \vecb$ menggunakan rumus cosinus vektor: $\cos \theta = \dfrac\veca \bullet \vecb$.Besar sudut antara dua vektor itu adalah ^\circ$ (karena segitiga sama sisi) dan panjang vektor $a$ dan $b$ masing-masing $ satuan. Untuk itu,$\beginaligned \cos 60^\circ & = \dfrac\veca \bullet \vecb4 \cdot 4 \ \dfrac12 & = \dfrac\veca \bullet \vecb9 \ \veca \bullet \vecb & = 8 \endaligned$Dengan demikian, diperoleh $\boxed2(\veca \bullet \vecb) = 2(8) = 16$

[collapse]

Soal Nomor 7Diketahui koordinat $A(0,4,6),B(-2,0,4)$, dan $C(2,2,2)$. Titik $P$ terletak pada $AB$ sedemikian sehingga $AP : PB = 1:3$. Tentukan:a. Koordinat $P$;b. Proyeksi vektor $\vecAP$ pada $\vecAC$;c. Proyeksi skalar $\vecAP$ pada $\vecAC$.

Pembahasan

Jawaban a)Titik $P$ terletak pada $AB$ sedemikian sehingga $AP : PB = 1:3$.Untuk itu, koordinat $P$ dapat ditentukan sebagai berikut.Absis: $\beginaligned x_P & = \dfrac11+3(1x_B + 3x_A) \ & = \dfrac14(1(-2)+3(0)) =-\dfrac12 \endaligned$Ordinat:$\beginaligned y_P \ & = \dfrac11+3(1y_B + 3y_A) \ & = \dfrac14(1(0)+3(4)) = 3 \endaligned$Aplikat:$\beginaligned z_P & = \dfrac11+3(1z_B + 3z_A) \ & = \dfrac14(1(4)+3(6)) = \dfrac112 \endaligned$Jadi, koordinat $P$ adalah $\boxed\left(-\dfrac12, 3, \dfrac112\right)$Jawaban b)Diketahui bahwa$\beginaligned \vecAP & = P- A \ & = \left(-\dfrac12, 3, \dfrac112\right)- (0, 4, 6) \ & = \left(-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right) \ \vecAC & = C- A \ &  = (2,2,2)-(0,4,6) \ & =(2,-2,-4) \ |\vecAC|^2 & = (2)^2+(-2)^2+(4)^2 = 24 \endaligned$Dengan menggunakan rumus proyeksi vektor, didapat$$\beginaligned \vecAP_\vecAC & = \dfrac\vecAP \bullet \vecAC^2 \cdot \vecAC \ & = \dfrac\left(-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right) \bullet (2,-2,-4)24 \cdot (2,-2, 4) \ & = \dfrac-1 + 2 + 224 \cdot (2,-2, 4) \ & = \left(\dfrac14,-\dfrac14, \dfrac12\right) \endaligned$$Jadi, proyeksi vektor $\vecAP$ pada $\vecAC$ adalah $\boxed\dfrac14 \widehat i- \dfrac14 \widehat j + \dfrac12 \widehat k$Jawaban c)Diketahui bahwa$$\beginaligned \vecAP & = P- A = \left(-\dfrac12, 3, \dfrac112\right)- (0, 4, 6) = \left(-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right) \ \vecAC & = C- A = (2,2,2)-(0,4,6)=(2,-2,-4) \ |\vecAC| & = \sqrt(2)^2+(-2)^2+(4)^2 = \sqrt24 = 2\sqrt6 \endaligned$$Dengan menggunakan rumus proyeksi skalar, didapat$\beginaligned |\vecAP_\vecAC| & = \dfrac\vecAP \bullet \vecAC \ & = \dfrac\left(-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right) \bullet (2,-2,-4)2\sqrt6 \ & = \dfrac-1 + 2 + 22\sqrt6 \ & = \dfrac32\sqrt6 \colorred\times \dfrac\sqrt6\sqrt6 \ & = \dfrac\cancel3\sqrt62(\cancelto26) = \dfrac14\sqrt6 \endaligned$Jadi, proyeksi skalar $\vecAP$ pada $\vecAC$ adalah $\boxed\dfrac14\sqrt6$

[collapse]

Soal Nomor 8Diketahui balok $OABC.DEFG$ dengan $|\vecOA| = 4, |\vecOC| = 3$, dan $|\vecOD| = 6$. Tentukan proyeksi skalar $\vecOF$ pada $\vecOB$.

Pembahasan

Perhatikan sketsa balok $OABC.DEFG$ berikut.Karena $|\vecOA| = 4$ dan $|\vecOC| = |\vecAB| = 3$, maka dengan rumus Pythagoras, diperoleh$|\vecOB = \sqrt\vecAB = \sqrt4^2+3^2 = 5$Misalkan $|\vecc|$ adalah proyeksi skalar $\vecOF$ pada $\vecOB$, sehingga$|\vecc| = \dfrac\vecOF \bullet \vecOB$Misalkan juga sudut antara $\vecOB$ dan $\vecOF$ adalah $\theta$, sehingga dengan Rumus Cosinus Vektor, diperoleh$\beginaligned \cos \theta & = \dfrac\vecOF \bullet \vecOB\vecOB \ \dfrac\cancel\vecOF & = \dfrac\vecOF \bullet \vecOB\vecOB \ |\vecOB|^2 & = \vecOF \bullet \vecOB \endaligned$Kembali pada rumus proyeksi skalar, diperoleh$\beginaligned |\vecc| & = \dfrac\vecOF \bullet \vecOB \ & = \dfrac\vecOB \ & = |\vecOB| = 5 \endaligned$Jadi, proyeksi skalar $\vecOF$ pada $\vecOB$ adalah $\boxed5$

[collapse]

Soal Nomor 9Diketahui segi empat $ABCD$ dengan titik $P$ pada $AC$ sehingga $\vecAP = \dfrac13 \vecAC$ dan titik $Q$ pada $BD$ sehingga $\vecBQ = \dfrac13 \vecBD$. Buktikan bahwa \vecPQ = 2\vecAB+\vecAD-\vecAC$.

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar segi empat $ABCD$ berikut.Dari gambar, $\colorblue\vecAD = \vecAB + \vecBD$.Berdasarkan aturan penjumlahan vektor, diperoleh$$\beginaligned \vecPQ & = \vecPA + \vecAD+\vecDQ \ \vecPQ & = -\dfrac13 \vecAC + \vecAD-\dfrac23 \vecBD \ \textKalikan&~\textkedua ruas dengan~3 \ 3\vecPQ & = -\vecAC + 3\vecAD-2 \vecBD \ 3\vecPQ & = (\vecAD + 2\vecAD)-2\vecBD-\vecAC \ 3\vecPQ & = \vecAD + 2(\colorblue\vecAB + \vecBD) -2\vecBD-\vecAC \ 3\vecPQ & = 2\vecAB+\vecAD-\vecAC \endaligned$$Jadi, terbukti bahwa $ \vecPQ = 2\vecAB+\vecAD-\vecAC$$ $\blacksquare$

[collapse] Today Quote

Ketika yang lain bisa berlari, janganlah iri karena dirimu hanya bisa berjalan. Bersyukurlah sebab ada yang hanya bisa merangkak demi sampai ke garis finish.

Postingan Terkait

20. Soal Soal Vektor

Vektor Matematika Peminatan : vektor, matematika, peminatan, Vektor

Contoh Soal Vektor Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 2 Contoh Soal Terbaru – Cute766

Vektor Matematika Peminatan : vektor, matematika, peminatan, Contoh, Vektor, Matematika, Peminatan, Kelas, Semester, Terbaru, Cute766

Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan

Vektor Matematika Peminatan : vektor, matematika, peminatan, Kupas, Tuntas, Matematika, Vektor, Kelas, Peminatan

Lks Vektor X Peminatan (Bima Gusti Ramadan)

Vektor Matematika Peminatan : vektor, matematika, peminatan, Vektor, Peminatan, (Bima, Gusti, Ramadan)

Contoh Soal Vektor Matematika Dan Penyelesaiannya Kelas 10 | Kumpulan Soal Pelajaran 6

Vektor Matematika Peminatan : vektor, matematika, peminatan, Contoh, Vektor, Matematika, Penyelesaiannya, Kelas, Kumpulan, Pelajaran

Vektor Part 5 Panjang Vektor Dan Vektor Satuan Matematika 10 Ipa Kurikulum 2013 - Cute766

Vektor Matematika Peminatan : vektor, matematika, peminatan, Vektor, Panjang, Satuan, Matematika, Kurikulum, Cute766

Contoh Soal Vektor Matematika Dan Pembahasannya Pdf | Ilmu Pengetahuan 7

Vektor Matematika Peminatan : vektor, matematika, peminatan, Contoh, Vektor, Matematika, Pembahasannya, Pengetahuan

20. Soal Soal Vektor

Vektor Matematika Peminatan : vektor, matematika, peminatan, Vektor

Contoh Soal Vektor Matematika Dan Penyelesaiannya Kelas 10 | Contoh Soal Dan Materi Pelajaran 8

Vektor Matematika Peminatan : vektor, matematika, peminatan, Contoh, Vektor, Matematika, Penyelesaiannya, Kelas, Materi, Pelajaran

Materi Vektor Matematika Sma Kelas 10 – IlmuSosial.id

Vektor Matematika Peminatan : vektor, matematika, peminatan, Materi, Vektor, Matematika, Kelas, IlmuSosial.id

Soal Vektor Matematika Peminatan Kelas 10 Pdf - Download File Guru

Vektor Matematika Peminatan : vektor, matematika, peminatan, Vektor, Matematika, Peminatan, Kelas, Download